模块一：行列式核心突破

作为线代的“计算工具”，行列式是后续矩阵、方程组等内容的基础。本模块重点解决三大问题：

• 逆序数与行列式定义的深度关联，通过具体案例理解“排列-符号-乘积”的计算逻辑
• 5大性质+2个推论的灵活应用，掌握“行和相等型”“爪型”“三对角型”等典型行列式的速算技巧
• 范德蒙行列式的结构特征与变形应用，结合克拉默法则理解行列式在方程组求解中的桥梁作用

模块二：矩阵的多维解析（上下篇）

矩阵是线代的“核心载体”，其运算规则、初等变换、秩的概念贯穿整个学科。课程分上下两篇细致讲解：

上篇（基础运算）：重点区分矩阵与行列式的本质差异，系统梳理加法、乘法、转置、逆矩阵等运算的定义与条件限制，通过对比常见公式（如(AB)^T=B^TA^T vs (A+B)^2的展开）强化记忆。特别针对方阵的幂运算设计专项训练，结合分块矩阵的行列式与逆矩阵计算，提升复杂矩阵的处理能力。

下篇（变换与秩）：深入解析初等变换与初等矩阵的对应关系，掌握行阶梯形、行最简形、标准形的转化方法；通过“行等价-列等价-矩阵等价”的对比，明确矩阵可逆的充要条件；系统归纳矩阵秩的求解方法（初等变换法、子式法）及10大核心结论（如r(AB)≤min(r(A),r(B))），为后续方程组求解奠定基础。

模块三：方程组与向量的协同分析（上下篇）

方程组与向量是线代表述问题的两种语言，二者的关联与转化是解题的关键。课程通过上下篇联动教学：

上篇（基础建模）：从方程组的一般形式、矩阵形式、向量形式入手，明确系数矩阵、增广矩阵、解向量等指标的几何与代数意义；重点讲解齐次/非齐次方程组的解判别条件（r(A)与r(Ā)的关系）及求解步骤（消元法+回代），同步引入向量的线性组合概念，说明“方程组有解”与“向量可由向量组表示”的等价性。

下篇（解的结构）：深入分析解的性质（齐次解的线性组合仍为解、非齐次解的差为齐次解），系统讲解齐次方程组基础解系的构造方法（自由变量选取+解向量生成）；通过“移项法”“基础解系构造法”对比，掌握非齐次方程组通解的书写规范；同步扩展向量组的线性相关/无关判定（充要条件与充分条件）、线性无关组求解（初等行变换法）及向量空间（仅数一）的基、维数、坐标计算，构建“方程组-向量”的知识网络。

模块四：特征值与特征向量的双向突破（上下篇）

特征值与特征向量是线代的“核心应用工具”，在矩阵对角化、二次型等领域有重要作用。课程分上下篇拆解：

上篇（基础求解）：从定义出发（Ax=λx），掌握特征方程|λE-A|=0的求解步骤，通过“三角矩阵”“对称矩阵”“幂等矩阵”等典型案例总结特征值的常见结论（如迹等于特征值之和）；同步归纳特征向量的性质（不同特征值的特征向量线性无关），强化“求特征值-求特征向量”的完整解题流程。

下篇（相似与对角化）：明确相似矩阵的定义与必要条件（迹、行列式、秩相等），重点讲解矩阵可相似对角化的充要条件（n个线性无关的特征向量）与充分条件（互异特征值）；针对对称矩阵的特殊性质（必可正交对角化），详细演示正交矩阵的构造方法（特征向量正交化+单位化），对比一般矩阵与对称矩阵对角化的差异。

模块五：二次型的系统掌握

二次型是线代的“综合应用场景”，涉及矩阵合同、正定判定等高频考点。课程围绕六大核心展开：

• 二次型的矩阵表示（注意对称矩阵的唯一性），通过实例练习“二次型→矩阵”“矩阵→二次型”的互化
• 标准形的两种构造方法：配方法（强调可逆线性变换的书写）与正交变换法（关联特征值与特征向量），对比两种方法的适用场景与结果差异
• 规范形与正负惯性指数的定义，结合惯性定理理解“合同矩阵”的充要条件（正负惯性指数相同）
• 正定二次型的判定（顺序主子式全正、特征值全正等充要条件）与必要条件（主对角线元素全正）
• 负定、半正定二次型的定义与判定方法，通过典型例题强化区分

逻辑一：考点与考频的精准匹配

课程内容严格对标考研大纲，结合近10年真题统计，标注每个知识点的考频（高频/中频/低频），例如“矩阵的秩”“方程组解的结构”“特征值求解”等高频考点会重点强化，“向量空间”（仅数一）等低频考点则明确备考范围，避免无效投入。

逻辑二：例题与真题的深度融合

每个知识点配套3-5道典型例题，涵盖“基础计算”“综合应用”“易错陷阱”等类型；每模块设置真题实战环节，选取近5年考研线代真题进行拆解，讲解“题目特征-考点定位-解题步骤-易错点提示”的完整思路，帮助考生建立“看到题目→想到考点→调用方法”的条件反射。

逻辑三：知识与能力的阶梯提升

课程按照“概念理解→公式记忆→方法掌握→综合应用”的认知规律设计，从行列式的基础计算到二次型的正定判定，每一步都设置明确的能力目标。例如：学完行列式模块需掌握5类典型行列式的速算；学完矩阵模块需能独立处理分块矩阵的逆与行列式计算；学完二次型模块需能快速判定二次型的正定性，真正实现“学完就能用，用了就能得分”。